Bilangan Narsis.

Narsisme, menurut wikipedia berasal dari bahasa belanda yang artinya perasaan cinta pada diri sendiri yang berlebihan. Orangnya disebut narsis. Kenapa disebut narsis?

Jadi, dalam mitologi Yunani ada tokoh yang bernama Narkissos. Dia ini dikutuk, sehingga ia mencintai bayangannya sendiri di kolam. Saking cintanya, tanpa sadar Ia menjulurkan tangannya ke kolam hingga tenggelam sampai akhirnya tumbuh bunga yang sampai sekarang disebut dengan bunga narsis.

Nah, gambar di samping adalah lukisan Narkissos yang dibuat oleh Michelangelo.


Ternyata, tak hanya manusia yang narsis.
Bilangan ada juga yang narsis.
Nih, mereka bilangan narsis.

153
370
371, dan
407

Narsisnya dimana?
lihat!

Masing-masing digit dari bilangan itu jika dipangkatkan dengan tiga lalu ditambahkan maka akan menghasilkan bilangan itu sendiri.
seperti ini

dan ini

 
Bagaimana nggak narsis coba!

Jadi, bilangan narsis adalah bilangan yang merupakan jumlahan dari bilangan pangkat tiga dari bilangan digitnya sendiri.


-salam matematika-

Read More

Mengalikan bilangan 21, 31, dan 41 dengan Cepat!

Algoritma perkalian diajarkan di sekolah.
Namun, kadang kita memerlukan cara cepat dalam perhitungan.
berikut adalah cara cepat untuk mengalikan bilangan 21, 31, dan 41.

untuk mengalikan bilangan dengan 21.
Kalikan 2 bilangan itu, lalu kalikan 10 dan tambahkan pada bilangan sebelumnya.

misalnya,
37 kali 21

kalikan 37 dengan 2, diperoleh 74.
lalu kalikan 10, menjadi 740.
tambahkan pada bilangan sebelumnya 740 + 37.
akhirnya diperoleh 777

silakan cek dengan kalkulator!


untuk mengalikan bilangan dengan 31,
kalikan 3 bilangan itu, lalu kalikan 10 dan tambahkan pada bilangan sebelumnya.
misalnya,
43 kali 31

kalikan 43 dengan 3, diperoleh 129.
lalu kalikan dengan 10, diperoleh 1.290
tambahkan pada bilangan sebelumnya, 1.290 + 43 = 1.333
sehingga 43 x 31 = 1.333



untuk mengalikan bilangan dengan 41,
kalikan 4 bilangan itu, lalu kalikan 10 dan tambahkan pada bilangan sebelumnya.

misalnya,
47 kali 41
kalikan 47 dengan 4, diperoleh 188
lalu kalikan dengan 10, menjadi 1.880
tambahkan pada bilangan sebelumnya 1.880 + 47 = 1.927
jadi, 47 x 41 = 1.927

Mudah bukan?

Selamat Mencoba!


-salam matematika-

Read More

Think before Counting!

Seringkali masalah atau soal matematika tampak begitu rumit.
Walaupun sebenarnya tidak sedemikian rumit dalam penyelesaiannya.
Menengok cara menyelesaikan, soal matematika identik dengan perhitungan.
Dengan memiliki keahlian menghitung yang baik maka akan lebih mudah mendapatkan penyelesaian.
Namun, tidak selalu demikian.
Persoalan matematika akan lebih sederhana apabila kita berfikir sebelum berhitung.

Perhatikan soal berikut,

Tentukan semua pasang bilangan prima yang jumlahnya sama dengan 999

Dengan kemampuan berhitung, soal diatas biasanya diselesaikan dengan mendaftar sekian banyak bilangan prima terlebih dahulu.
Dari deretan bilangan prima itu, kemudian dicoba dipasang-pasangkan sehingga diperoleh jumlah 999.
Hal ini tentu akan membosankan dan memerlukan waktu.

Mari kita gunakan penalaran logika untuk menyelesaikannya.
Pada soal itu, jumlahan yang diminta adalah 999, yang merupakan bilangan ganjil.
Artinya, Jumlahan dari dua bilangan prima itu harus ganjil.
Untuk mendapatkan hasil bilangan GANJIL dari dua bilangan yang ditambahkan maka bilangan tersebut haruslah GENAP dan GANJIL.
Dan tentu, keduanya adalah prima.

Satu-satunya bilangan prima genap adalah 2 (dua) maka bilangan yang lain adalah 997.    (yaitu 999-2)

Jadi, pasangan bilangan prima yang jumlahnya sama dengan 999 adalah 2 dan 997 saja.


Well, Let's Think before Counting!


- salam matematika-

Read More

EMIRP

Apa itu bilangan EMIRP?
Anda mungkin tidak akan menemukan terjemahannya dalam kamus bahasa indonesia maupu bahasa inggris.

tapi, coba anda baca dari belakang!
maka akan diperoleh kata
PRIME
artinya bilangan prima.

Bilangan Emirp adalah suatu bilangan prima yang apabila dibalik urutan digitnya akan diperoleh bilangan prima yang lain.

contohnya  bilangan 13
13 merupakan bilangan prima, apabila dibalik urutannya menjadi
31 yang juga merupakan bilangan prima.

bilangan emirp yang lain adalah
17
31
37
71
73
79
97
107
113
149
dan 157.


Dapatkah Anda temukan Emirp yang lain?

-salam matematika-

Read More

Kapan Sebuah Bilangan Dapat Dibagi oleh 11?

Apakah 768.614 dapat dibagi 11?

Dalam hal ini, semesta pembicaraan kita adalah bilangan bulat.

Suatu bilangan a dikatakan dapat dibagi oleh bilangan b jika hasil baginya merupakan bilangan bulat dengan sisa pembagian 0 (nol).

Untuk menjawab soal diatas, kita dapat mencobanya menggunakan operasi pembagian, tetapi hal itu memerlukan waktu.

Dengan menggunakan kalkulator, tentu akan sangat mudah menyelesaikannya.

Namun, ada cara yang lebih sederhana untuk menentukan apakah suatu biangan dapat dibagi oleh 11 atau tidak tanpa kalkulator.

Berikut adalah caranya,

Tambahkan bilangan dengan digit berselang, lalu cari selisihnya. Apabila selisihnya dapat dibagi 11 maka bilangan yang diinginkan juga dapat dibagi 11.

Menambahkan bilangan berselang artinya bilangan digit pertama ditambah bilangan ketiga lalu kelima dan seterusnya. Bilangan kedua ditambah bilangan keempat, Keenan, dan seterusnya.

Tampak rumit?

Tidak juga.

Mari kita selesaikan soal diatas.

768.614

Jumlah dari masing-masing bilangan berselang adalah

7 + 8 + 1 = 16.       dan         6 + 6 + 4 = 16

Selisihnya adalah 16 - 16 = 0.

Karena 0 dapat dibagi 11, maka 768.614 dapat dibagi oleh 11.

Contoh lain,

Apakah 918.082 dapat dibagi 11?

Karena 9 + 8 + 8 = 25     dan   1 + 0 + 2 = 3

serta selisihnya adalah 25 - 3 = 22 dapat dibagi 11 maka

918.082 dapat dibagi 11.

Sederhana bukan?

Selamat mencoba!

-salam matematika- 

Read More

Puzzle Kaos Kaki

Terdapat 20 buah kaos kaki yang identik, yaitu sama bentuk dan ukurannya. Diantara kedua puluh kaos kaki tersebut, sebanyak 10 buah berwarna merah dan 10 buah lainnya berwarna biru.

Semua kaos kaki disimpan berantakan keranjang.

Anda ingin mengambil sepasang kaos kaki secara acak (tanpa melihat).

Berapa kali minimal pengambilan untuk mendapatkan, dengan pasti, kaos kaki sepasang yang warnanya sama?

dapatkah Anda menemukan jawabannya?

pertanyaan kedua,

Apabila dalam sebuah keranjang terdapat 8 buah kaos kaki berwarna biru, 6 buah berwarna  merah, dan 4 buah berwarna hitam.

Berapa kali minimal pengambilan untuk mendapatkan dengan pasti sepasang kaos kaki berwana sama?

Pertanyaan ketiga,

Bagainama jika kondisi pada pertanyaan kedua, Anda ingin mengambil sepasang kaos kaki berwarna hitam. Berapa kali minimal pengambilan untuk mendapatkan dengan pasti sepasang kaos kaki berwarna hitam itu?,

dengan kalimat lain, 

Apabila dalam sebuah keranjang terdapat 8 buah kaos kaki berwarna biru, 6 buah berwarna  merah, dan 4 buah berwarna hitam.

Berapa kali minimal pengambilan untuk mendapatkan dengan pasti sepasang kaos kaki berwarna hitam?

-salam matematika-  

Read More

Amicable Numbers

Amicable Number atau istilah lainnya adalah bilangan yang saling "klop"
Ibarat pasangan suami istri ya pasangan yang serasi
Ibarat persahabatan ya BFF lah, Best Friend Forever.

Amicable number adalah bilanganya yang hasil penjumlahan dari proper divisornya/pembagi sejati
(semua pembagi/ faktornya include 1 dan exclude bilangan itu sendiri) merupakan bilangan pasangannya
dan sebaliknya.

Mereka saling cinta dan setia satu sama lain.
Seberapa besarkah cintanya.
mari kita lihat.

bilangan
220 dan 284

bilangan 220 memiliki pembagi sejati yang jika semua ditambahkan adalah sebagai berikut,
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

dengan perlakuan yang sama kepada bilangan 284, akan kita peroleh,
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

nah, sudah lihat kan betapa setianya mereka.

Pasangan-pasangan yang lain adalah
1.184 dan 1.210
2.620 dan 2.924
5.020 dan 5.564



tipe pasangan bilangan ini ditemukan oleh Pythagoras
dan telah banyak kajian dan penelitian mengenai bilangan-bilangan tersebut
diantaranya oleh Fermat, Descrates, Muhammad Baqir Yazdi, dan Thabit Ibnu Qurro'.

dapatkah anda temukan pasangan bilangan yang lain?


-salam matematika-

Read More

mencoba label

ini hanya untuk membuat label saja, atau kategori.

Read More

Perfect Numbers

Bilangan sempurna.
memang ada ya?


Kata orang,
tak ada manusia yang sempurna
karna kesempurnaan hanya milik Tuhan

namun, di dalam matematika
ada yang disebut dengan BILANGAN SEMPURNA

Suatu bilangan dikatakan sepurna apabila
Hasil penjumlahan dari semua faktor sejatinya (semua faktor kecuali  bilangan itu) menghasilkan bilangan itu sendiri.
Misalnya bilangan 6.

6 memiliki faktor sejati 1, 2, dan 3.
Hasil penjumlahan dari faktor tersebut adalah
1 + 2 + 3 = 6

bilangan yang lain
adalah 28

28 memiliki faktor sejati 1, 2, 4, 7, 14
Hasil penjumlahan dari  faktor-faktor tersebut adalah
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28


Jadi, 6 dan 28 adalah merupakan bilangan sempurna.

Dapatkah anda menemukan bilangan sempurna yang lain?


-salam matematika-

Read More

1 = 2

Percaya nggak bahwa 1 = 2 ?

Nih, buktinya...
Misal a = b,
maka

percaya kan bahwa 1 = 2 ?

Jadi, andai suatu saat anda memarkirkan sepeda motor lalu tanya pada tukang parkirnya
"berapa pak?"
"dua ribu mas/mbak"
kasih saja uang seribu. Kan  1 = 2.
kalau tukang parkirnya protes, sodorkan saja pembuktian diatas. hehe...

Tentu saja pembuktian diatas salah.
Tapi bagian mana yang salah?

sudah anda temukan kesalahannya?

Yup, kesalahannya ada pada baris kelima, yaitu ketika kedua ruas dibagi dengan (a-b).
Mengapa salah?
Karena, permisalan a = b mengakibatkan (a - b) = 0. Dengam demikian, pada baris kelima tersebut, dilakukan pembagian dengan 0. Padahal pembagian dengan 0 itu tidak diperbolehkan.
(baca : dilarang membagi dengan 0(nol)!)

Jadi, pernyataan 1 = 2 tidaklah benar.


- salam matematika-

Read More

2 - (-3) = 2 + 3 ?

Pernah mendapatkan soal matematika seperti diatas?
"Dua dikurangi negatif tiga"

berapa hasilnya?

sudah pasti 5 (lima) kan.

bagaimana carannya?
tinggal ganti saja tanda kurang dan negatif dengan tanda positif,
sehingga akan diperoleh

2 + 3 = 5

nah,
bagaimana bisa tanda kurang dan negatif diganti dengan tanda positif,


berikut adalah penjelasan deduktifnya.
Misal a dan b adalah sembarang bilangan-bilangan Riil.
dan misal
a - (-b) = k 
berdasarkan definisi pengurangan, a - (-b) = k berarti
          k + (-b)               = a                       lalu kedua ruas ditambah dengan b sehingga menjadi
<=> [ k + (-b) ] + b      = a   +  b               sifat kesamaan
<=>    k + [(-b) + b ]     = a   +  b               sifat asosiatif
<=>    k + 0                   = a   +  b               sifat invers penjumlahan

<=>    k                         = a   +  b              karena 0 merupakan elemen identitas penjumlahan

jadi diperoleh
a - (-b) = k  = a   +  b   atau     

a - (-b) =  a   +  b 

karena a dan b adalah sembarang bilangan-bilangan Riil, maka a - (-b) =  a   +  b  untuk bilangan berapapun,
termasuk 2 dan 3 seperti pada soal diatas.


-salam matematika-

Read More

Aksioma Tuhan

Aksioma adalah sebuah pernyataan yang diterima sebagai kebenaran tanpa perlu pembuktian.

Di dalam matematika, terdapat beberapa aksioma diantaranya dalam aljabar dan geometri.
Di dalam aljabar, setiap bilangan bulat ditambah dengan negatif bilangan itu, hasilnya pasti nol. Setiap bilangan riil dikalikan dengan bilangan riil, hasilnya asti bilangan rii.

Di dalam geometri, dari satu buah titik dapat dibuat tak hingga banyak garis, dari dua buah titik dapat dibuat tepat satu garis lurus, dan sebagainya.

Kesemua pernyataan tersebut sudah benar tanpa perlu pembuktian. Sehingga tak perlu lagi ada pertanyaan "dari mana?" atau "kog bisa?"

Didalah kehidupan, terdapat aksioma tentang tuhan,
Bahwa dalam surat al-ikhlas dinyatakan

"Lam yalid walam yuulad"


bahwa Tuhan itu ada. Tuhan itu tidak beranak dan tidak diperanakkan.
keberadaan tuhan adalah aksioma yang tak perlu lagi dipertanyakan kebenarannya dan tak perlu lagi ada pertanyaan "dari mana?" dan "kog bisa?" atau semacamnya.
Jadi, Tuhan itu ada, dan Itu Benar.


-salam matematika-

Read More

tak hingga

Berapakah hasil pengerjaan berikut?

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... = 

Berapakah hasil anda?
Apakah 0 (nol)
melalui cara ini,
(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ...
= 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + ...
= 0 

ataukah jawaban anda 1 (satu)  
dengan cara seperti ini,

 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1)  + ... 
= 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + ...
= 1  

manakah jawaban yang benar,  0(nol) atau 1(satu),  mungkinkah keduanya benar, atau mungkin keduanya salah?

Soal diatas adalah operasi penjumlahan dengan  suku sampai tak hingga.
Sedangkan pengerjaan yang menghasilkan nol dan satu menggunakan operasi berhingga.
Untuk menyelesaikan soal diatas tidak dapat kita gunakan operasi berhingga tersebut.  Sehingga, kedua pengerjaan diatas tidak tepat.

sebagai contoh lain,
pada gambar berikut.

pengerjaan pada konsep tak hingga dengan konsep berhingga. Hal ini tidak sah.


-salam matematika-



 

Read More

Kenapa tripod kakinya tiga?

Kenapa tripod kakinya tiga? kalau empat namanya quartpod. Hehe...

Saya tidak punya latar belakang teknik atau semacam keinsinyuran.
Namun, saya menilik berdasarkan pengetahuan yang saya punya.

Matematika.

Di dalam matematika ada aksioma.Ia adalah sebuah pernyataan yang shahih tanpa perlu pembuktian.

Misal, hasil penjumlahan bilangan bulat pasti bilangan bulat. Sembarang bilangan riil dikalikan dengan 1 (satu) pasti hasilnya bilangan itu sendiri.

Nah, di dalam geometri terdapat aksioma yang menyatakan "dari tiga buah titik dapat dibuat satu bidang"
Berdasar aksioma itulah mengapa tripod berkaki tiga. Yakni ketiga kali tersebut akan berada pada satu bidang. Dengan demikian kamera tidak akan goyang.

Coba kita perhatikan kursi yang kakinya 4. Andaikan salah satu kakinya tidak tepat sama panjang, misalnya selisih satu centimeter saja, maka apa yang terjadi? kursi akan goyang. Hal ini karena keempat titik itu tidak sebidang. Kalau keempat kaki tepat sama panjang, ya pasti stabil karena sebidang.

Namun, kalau kursi atau tripod berkaki tiga walaupun panjang kaki tidak sama, atau terletak pada lantai yang tidak rata, kursi atau tripod tersebut tetap tidak akan goyang.
Begitu kira-kira.

-salam matematika-

Read More

negatif x negatif = positif

coba simak rumus berikut,
a x b          = ab
a x (-b)      = - (axb)
(-a) x b      = - (axb)
(-a) x (-b)  = ab

rumus di atas pertama kali dijumpai di kelas 4 pada pembahasan operasi bilangan bulat.
sampai pada jenjang pendidikan selanjutnya, bahkan sampai sarjana kemudian seseorang ditanya dari mana rumus itu.
atau bahasa komunikatifnya,
mengapa positif kali negatif hasilnya negatif? lalu
mengapa negatif kali negatif hasilnya positif?

tidak sedikit yang menjawab "sudah dari sana-nya",
atau "gurunya dulu bilang begitu"

padahal, matematika tidak lahir dari batu yang tiba-tiba ada tanpa sebab seperti kera sakti, sun go kong.

secara induktif, begini ilustrasinya

2 x 3    = 6
2 x 2    = 4
2 x 1    = 2
2 x 0    = 0
2 x (-1) = ...
2 x (-2) = ...

perhatikan! ada pola pada hasilnya, dimana hasil dari sebuah baris adalah baris sebelumnya dikurangi 2.
sehingga untuk 2 x (-1) hasilnya adalah hasil baris sebelumnya dikurangi 2 (atau 0 - 2) yaitu (-2),
dan hasil 2 x (-2)  adalah (-2)-2 sama dengan (-4)
jadi,

2 x (-1) = -2
2 x (-2) = -4
dst

terlihatkan bahwa "positif x negatif = negatif".
dapat dilakukan dengan bilangan lain. Bilangan 2 pada "baris sebelumnya dikurangi 2" diperoleh dari bilangan pengali.


berdasarkan sifat komutatif,
karena
2 x (-2) = -4
maka
(-2) x 2 = -4

analog, dapat diperoleh pula bahwa "negatif x positif = negatif"


kemudian, perhatikan lagi!
(-2) x 2    = -4
(-2) x 1    = -2
(-2) x 0    = 0
(-2) x (-1) = ...
(-2) x (-2) = ...

terdapat pola dimana hasil dari sebuah baris adalah baris sebelumnya ditambah 2.
sehingga untuk (-2) x (-1) hasilnya adalah hasil baris sebelumnya ditambah 2 (0+2), yaitu 2
dan hasil (-2) x (-2) adalah 2 + 2 sama dengan 4.
jadi,

(-2) x (-1) = 2
(-2) x (-2) = 4
dst

tampak pula bahwa negatif x negatif = positif


ilustrasi di atas menggunakan pendekatan induktif.(bukan bukti shahih pada matematika)
bukti secara deduktifnya di posting-an selanjutnya ya.

-salam matematika-

Read More

dilarang membagi dengan 0 (nol) !

berapakah hasil dari 5:0?"

jawabannya pasti,
"tak terdefinisi"
lalu,

"mengapa tidak didefinisikan?"

terdapat sekian banyak matematikawan yang dengan analisi, logika, dan pemikiran yang luar biasa.
phytagoras dengan teorema sisimiring-nya, al-khowarizmi dengan aljabar-nya, euclids dengan element(geometri)-nya, aristoteles, descrates, dan sebagainya...
tetapi mengapa mereka tidak mendefinisikan pembagian dengan nol?

mari kita lakukan analisis sederhana!

mulai dari definisi pembagian,
misal 5 x ... = 10.
berapakah bilangan yang mengisi "..."?
pengerjaan hitung yang mendapatkan bilangan tersebut ditulis 10:5 disebut pembagian, hasilnya disebut hasil bagi.

definisi.(serius nih)
misal b x ... = a
hasi bagi a dan b adalah bilangan yang jika dikalikan dengan b menghasilkan a.

sehingga, berdasarkan definisi, untuk mengisi "..." pada "5 x ... = 10" adalah mencari bilangan yang jika dikalikan dengan 5 hasilnya 10 (ditulis 10: 5)
dan bilangan yang memenuhi adalah 2 (yaitu 10 : 5 = 2)
jadi ,
5 x 2 = 10.

kita lanjutkan ya,
andaikan 5 : 0 kita definisikan, misalnya *.       (* adalah suatu bilangan bulat)
Jadi 5 : 0 = *
berarti berdasarkan definisi pembagian, 0 dikalikan * sama dengan 5.
padahal  suatu bilangan dikalikan 0 hasilnya adalah 0.
terjadi kontradiksi.
berarti pengandaian bawasalah.

kita simak lagi,
0     =   0
0 x 1 =   0 x 2   (ruas kiri dikali 1 dan ruas kanan dikali 2, hasilnya masih sama-sama 0)
lalu kedua ruas dibagi dengan 0,
hasilnya,
1     =   2       (lho?)

coba kalau, 0 = 0
lalu ruas kiri dikali 25 dan ruas kanan dikali 26,
dengan membagi kedua ruas dengan nol,
maka diperoleh 25 = 26

kalau ruas kiri dan kanan dikali dengan bilangan-bilangan yang lain,
maka semua bilangan akan sama dong.
lalu kalau semua bilangan sama, apa yang terjadi dengan matematika?
rusaklah sistemnya.


nah, ketemu! mengapa pembagian dengan 0 tidak diperbolehkan, atau pembagian dengan 0 tidak didefinisikan.
karena kalau didefinisikan sistem matematika akan menjadi rusak.

-salam matematika-

Read More

3^0 = 1

Semester lalu saya mendapatkan cerita dari rekan sesama matematika yang mendapatkan pertanyaan dari rekan bukan orang matematika,
pertanyaannya,

"mengapa 3^0=1 ?"

pertanyaan yang saya suka.
yah, saya suka membahas sesuatu yang sebagian orang menganggapnya remeh, tidak penting, tetapi tak banyak juga yang tahu jawabannya.
Suatu saat saya berikan pertanyaan yang sama kepada mahasiswa, dan tidak saya dapati jawaban dari mereka.

secara induktif, begini penjelasannya...













lihat!  kita punya pola pada hasil perpangkatan di atas.
Baris pertama 27, perhatikan 27 : 3 adalah 9 (baris kedua),
lalu 9 : 3 = 3 (baris ketiga).
Dapat disimpulkan bahwa untuk mendapatkan hasil pada baris tertentu, tinggal bagi saja baris sebelumnya dengan 3.
Berarti, untuk mendapatkan hasil pada baris keempat, hasil pada baris ketiga dibagi 3 yaitu 3 : 3 sama dengan 1.

Jadi,


Bilangan 3 sebagai pembagi merupakan bilangan pokok pada soal yakni .
Cara ini dapat dianalogikan untuk bilangan pokok yang lain, misalnya
 
dan seterusnya...

Dalam hal ini, cara berfikir yang saya pakai adalah dengan pendekatan induktif.
secara matematis, pendekatan ini tidak shahih.
penggunaan pendekatan ini hanya bertujuan untuk mempermudah dalam pemahaman saja.

-salam matematika-

Read More