Perfect Numbers

Bilangan sempurna.
memang ada ya?


Kata orang,
tak ada manusia yang sempurna
karna kesempurnaan hanya milik Tuhan

namun, di dalam matematika
ada yang disebut dengan BILANGAN SEMPURNA

Suatu bilangan dikatakan sepurna apabila
Hasil penjumlahan dari semua faktor sejatinya (semua faktor kecuali  bilangan itu) menghasilkan bilangan itu sendiri.
Misalnya bilangan 6.

6 memiliki faktor sejati 1, 2, dan 3.
Hasil penjumlahan dari faktor tersebut adalah
1 + 2 + 3 = 6

bilangan yang lain
adalah 28

28 memiliki faktor sejati 1, 2, 4, 7, 14
Hasil penjumlahan dari  faktor-faktor tersebut adalah
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28


Jadi, 6 dan 28 adalah merupakan bilangan sempurna.

Dapatkah anda menemukan bilangan sempurna yang lain?


-salam matematika-

Read More

1 = 2

Percaya nggak bahwa 1 = 2 ?

Nih, buktinya...
Misal a = b,
maka

percaya kan bahwa 1 = 2 ?

Jadi, andai suatu saat anda memarkirkan sepeda motor lalu tanya pada tukang parkirnya
"berapa pak?"
"dua ribu mas/mbak"
kasih saja uang seribu. Kan  1 = 2.
kalau tukang parkirnya protes, sodorkan saja pembuktian diatas. hehe...

Tentu saja pembuktian diatas salah.
Tapi bagian mana yang salah?

sudah anda temukan kesalahannya?

Yup, kesalahannya ada pada baris kelima, yaitu ketika kedua ruas dibagi dengan (a-b).
Mengapa salah?
Karena, permisalan a = b mengakibatkan (a - b) = 0. Dengam demikian, pada baris kelima tersebut, dilakukan pembagian dengan 0. Padahal pembagian dengan 0 itu tidak diperbolehkan.
(baca : dilarang membagi dengan 0(nol)!)

Jadi, pernyataan 1 = 2 tidaklah benar.


- salam matematika-

Read More

2 - (-3) = 2 + 3 ?

Pernah mendapatkan soal matematika seperti diatas?
"Dua dikurangi negatif tiga"

berapa hasilnya?

sudah pasti 5 (lima) kan.

bagaimana carannya?
tinggal ganti saja tanda kurang dan negatif dengan tanda positif,
sehingga akan diperoleh

2 + 3 = 5

nah,
bagaimana bisa tanda kurang dan negatif diganti dengan tanda positif,


berikut adalah penjelasan deduktifnya.
Misal a dan b adalah sembarang bilangan-bilangan Riil.
dan misal
a - (-b) = k 
berdasarkan definisi pengurangan, a - (-b) = k berarti
          k + (-b)               = a                       lalu kedua ruas ditambah dengan b sehingga menjadi
<=> [ k + (-b) ] + b      = a   +  b               sifat kesamaan
<=>    k + [(-b) + b ]     = a   +  b               sifat asosiatif
<=>    k + 0                   = a   +  b               sifat invers penjumlahan

<=>    k                         = a   +  b              karena 0 merupakan elemen identitas penjumlahan

jadi diperoleh
a - (-b) = k  = a   +  b   atau     

a - (-b) =  a   +  b 

karena a dan b adalah sembarang bilangan-bilangan Riil, maka a - (-b) =  a   +  b  untuk bilangan berapapun,
termasuk 2 dan 3 seperti pada soal diatas.


-salam matematika-

Read More

Aksioma Tuhan

Aksioma adalah sebuah pernyataan yang diterima sebagai kebenaran tanpa perlu pembuktian.

Di dalam matematika, terdapat beberapa aksioma diantaranya dalam aljabar dan geometri.
Di dalam aljabar, setiap bilangan bulat ditambah dengan negatif bilangan itu, hasilnya pasti nol. Setiap bilangan riil dikalikan dengan bilangan riil, hasilnya asti bilangan rii.

Di dalam geometri, dari satu buah titik dapat dibuat tak hingga banyak garis, dari dua buah titik dapat dibuat tepat satu garis lurus, dan sebagainya.

Kesemua pernyataan tersebut sudah benar tanpa perlu pembuktian. Sehingga tak perlu lagi ada pertanyaan "dari mana?" atau "kog bisa?"

Didalah kehidupan, terdapat aksioma tentang tuhan,
Bahwa dalam surat al-ikhlas dinyatakan

"Lam yalid walam yuulad"


bahwa Tuhan itu ada. Tuhan itu tidak beranak dan tidak diperanakkan.
keberadaan tuhan adalah aksioma yang tak perlu lagi dipertanyakan kebenarannya dan tak perlu lagi ada pertanyaan "dari mana?" dan "kog bisa?" atau semacamnya.
Jadi, Tuhan itu ada, dan Itu Benar.


-salam matematika-

Read More

tak hingga

Berapakah hasil pengerjaan berikut?

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... = 

Berapakah hasil anda?
Apakah 0 (nol)
melalui cara ini,
(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ...
= 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + ...
= 0 

ataukah jawaban anda 1 (satu)  
dengan cara seperti ini,

 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1)  + ... 
= 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + ...
= 1  

manakah jawaban yang benar,  0(nol) atau 1(satu),  mungkinkah keduanya benar, atau mungkin keduanya salah?

Soal diatas adalah operasi penjumlahan dengan  suku sampai tak hingga.
Sedangkan pengerjaan yang menghasilkan nol dan satu menggunakan operasi berhingga.
Untuk menyelesaikan soal diatas tidak dapat kita gunakan operasi berhingga tersebut.  Sehingga, kedua pengerjaan diatas tidak tepat.

sebagai contoh lain,
pada gambar berikut.

pengerjaan pada konsep tak hingga dengan konsep berhingga. Hal ini tidak sah.


-salam matematika-



 

Read More

Kenapa tripod kakinya tiga?

Kenapa tripod kakinya tiga? kalau empat namanya quartpod. Hehe...

Saya tidak punya latar belakang teknik atau semacam keinsinyuran.
Namun, saya menilik berdasarkan pengetahuan yang saya punya.

Matematika.

Di dalam matematika ada aksioma.Ia adalah sebuah pernyataan yang shahih tanpa perlu pembuktian.

Misal, hasil penjumlahan bilangan bulat pasti bilangan bulat. Sembarang bilangan riil dikalikan dengan 1 (satu) pasti hasilnya bilangan itu sendiri.

Nah, di dalam geometri terdapat aksioma yang menyatakan "dari tiga buah titik dapat dibuat satu bidang"
Berdasar aksioma itulah mengapa tripod berkaki tiga. Yakni ketiga kali tersebut akan berada pada satu bidang. Dengan demikian kamera tidak akan goyang.

Coba kita perhatikan kursi yang kakinya 4. Andaikan salah satu kakinya tidak tepat sama panjang, misalnya selisih satu centimeter saja, maka apa yang terjadi? kursi akan goyang. Hal ini karena keempat titik itu tidak sebidang. Kalau keempat kaki tepat sama panjang, ya pasti stabil karena sebidang.

Namun, kalau kursi atau tripod berkaki tiga walaupun panjang kaki tidak sama, atau terletak pada lantai yang tidak rata, kursi atau tripod tersebut tetap tidak akan goyang.
Begitu kira-kira.

-salam matematika-

Read More

negatif x negatif = positif

coba simak rumus berikut,
a x b          = ab
a x (-b)      = - (axb)
(-a) x b      = - (axb)
(-a) x (-b)  = ab

rumus di atas pertama kali dijumpai di kelas 4 pada pembahasan operasi bilangan bulat.
sampai pada jenjang pendidikan selanjutnya, bahkan sampai sarjana kemudian seseorang ditanya dari mana rumus itu.
atau bahasa komunikatifnya,
mengapa positif kali negatif hasilnya negatif? lalu
mengapa negatif kali negatif hasilnya positif?

tidak sedikit yang menjawab "sudah dari sana-nya",
atau "gurunya dulu bilang begitu"

padahal, matematika tidak lahir dari batu yang tiba-tiba ada tanpa sebab seperti kera sakti, sun go kong.

secara induktif, begini ilustrasinya

2 x 3    = 6
2 x 2    = 4
2 x 1    = 2
2 x 0    = 0
2 x (-1) = ...
2 x (-2) = ...

perhatikan! ada pola pada hasilnya, dimana hasil dari sebuah baris adalah baris sebelumnya dikurangi 2.
sehingga untuk 2 x (-1) hasilnya adalah hasil baris sebelumnya dikurangi 2 (atau 0 - 2) yaitu (-2),
dan hasil 2 x (-2)  adalah (-2)-2 sama dengan (-4)
jadi,

2 x (-1) = -2
2 x (-2) = -4
dst

terlihatkan bahwa "positif x negatif = negatif".
dapat dilakukan dengan bilangan lain. Bilangan 2 pada "baris sebelumnya dikurangi 2" diperoleh dari bilangan pengali.


berdasarkan sifat komutatif,
karena
2 x (-2) = -4
maka
(-2) x 2 = -4

analog, dapat diperoleh pula bahwa "negatif x positif = negatif"


kemudian, perhatikan lagi!
(-2) x 2    = -4
(-2) x 1    = -2
(-2) x 0    = 0
(-2) x (-1) = ...
(-2) x (-2) = ...

terdapat pola dimana hasil dari sebuah baris adalah baris sebelumnya ditambah 2.
sehingga untuk (-2) x (-1) hasilnya adalah hasil baris sebelumnya ditambah 2 (0+2), yaitu 2
dan hasil (-2) x (-2) adalah 2 + 2 sama dengan 4.
jadi,

(-2) x (-1) = 2
(-2) x (-2) = 4
dst

tampak pula bahwa negatif x negatif = positif


ilustrasi di atas menggunakan pendekatan induktif.(bukan bukti shahih pada matematika)
bukti secara deduktifnya di posting-an selanjutnya ya.

-salam matematika-

Read More