dilarang membagi dengan 0 (nol) !

berapakah hasil dari 5:0?"

jawabannya pasti,
"tak terdefinisi"
lalu,

"mengapa tidak didefinisikan?"

terdapat sekian banyak matematikawan yang dengan analisi, logika, dan pemikiran yang luar biasa.
phytagoras dengan teorema sisimiring-nya, al-khowarizmi dengan aljabar-nya, euclids dengan element(geometri)-nya, aristoteles, descrates, dan sebagainya...
tetapi mengapa mereka tidak mendefinisikan pembagian dengan nol?

mari kita lakukan analisis sederhana!

mulai dari definisi pembagian,
misal 5 x ... = 10.
berapakah bilangan yang mengisi "..."?
pengerjaan hitung yang mendapatkan bilangan tersebut ditulis 10:5 disebut pembagian, hasilnya disebut hasil bagi.

definisi.(serius nih)
misal b x ... = a
hasi bagi a dan b adalah bilangan yang jika dikalikan dengan b menghasilkan a.

sehingga, berdasarkan definisi, untuk mengisi "..." pada "5 x ... = 10" adalah mencari bilangan yang jika dikalikan dengan 5 hasilnya 10 (ditulis 10: 5)
dan bilangan yang memenuhi adalah 2 (yaitu 10 : 5 = 2)
jadi ,
5 x 2 = 10.

kita lanjutkan ya,
andaikan 5 : 0 kita definisikan, misalnya *.       (* adalah suatu bilangan bulat)
Jadi 5 : 0 = *
berarti berdasarkan definisi pembagian, 0 dikalikan * sama dengan 5.
padahal  suatu bilangan dikalikan 0 hasilnya adalah 0.
terjadi kontradiksi.
berarti pengandaian bawasalah.

kita simak lagi,
0     =   0
0 x 1 =   0 x 2   (ruas kiri dikali 1 dan ruas kanan dikali 2, hasilnya masih sama-sama 0)
lalu kedua ruas dibagi dengan 0,
hasilnya,
1     =   2       (lho?)

coba kalau, 0 = 0
lalu ruas kiri dikali 25 dan ruas kanan dikali 26,
dengan membagi kedua ruas dengan nol,
maka diperoleh 25 = 26

kalau ruas kiri dan kanan dikali dengan bilangan-bilangan yang lain,
maka semua bilangan akan sama dong.
lalu kalau semua bilangan sama, apa yang terjadi dengan matematika?
rusaklah sistemnya.


nah, ketemu! mengapa pembagian dengan 0 tidak diperbolehkan, atau pembagian dengan 0 tidak didefinisikan.
karena kalau didefinisikan sistem matematika akan menjadi rusak.

-salam matematika-

Read More

3^0 = 1

Semester lalu saya mendapatkan cerita dari rekan sesama matematika yang mendapatkan pertanyaan dari rekan bukan orang matematika,
pertanyaannya,

"mengapa 3^0=1 ?"

pertanyaan yang saya suka.
yah, saya suka membahas sesuatu yang sebagian orang menganggapnya remeh, tidak penting, tetapi tak banyak juga yang tahu jawabannya.
Suatu saat saya berikan pertanyaan yang sama kepada mahasiswa, dan tidak saya dapati jawaban dari mereka.

secara induktif, begini penjelasannya...













lihat!  kita punya pola pada hasil perpangkatan di atas.
Baris pertama 27, perhatikan 27 : 3 adalah 9 (baris kedua),
lalu 9 : 3 = 3 (baris ketiga).
Dapat disimpulkan bahwa untuk mendapatkan hasil pada baris tertentu, tinggal bagi saja baris sebelumnya dengan 3.
Berarti, untuk mendapatkan hasil pada baris keempat, hasil pada baris ketiga dibagi 3 yaitu 3 : 3 sama dengan 1.

Jadi,


Bilangan 3 sebagai pembagi merupakan bilangan pokok pada soal yakni .
Cara ini dapat dianalogikan untuk bilangan pokok yang lain, misalnya
 
dan seterusnya...

Dalam hal ini, cara berfikir yang saya pakai adalah dengan pendekatan induktif.
secara matematis, pendekatan ini tidak shahih.
penggunaan pendekatan ini hanya bertujuan untuk mempermudah dalam pemahaman saja.

-salam matematika-

Read More

Angka Vs Bilangan

1 2 3 4 5 6 7 8
siapa rajin ke sekolah
cari ilmu sampai dapat
sungguh senang, amat senang
bangun pagi-pagi sungguh senang

sebuah nyanyian anak TK yang sangat familiar.
ada pelajaran angka dan motivasi

ups, angka atau bilangan ya.
ataukah angka dan bilangan itu sama saja.

let's see

gambar a

gambar b

gambar c

Anda melihat gambar diatas?

Ketika sedang melihat gambar diatas, Anda sedang melihat bilangan empat, tiga, dan lima.

Tetapi anda tidak melihat angka empat, tiga, dan lima.

Lalu lihatlah ini,

4        3      5

yang Anda lihat adalah angka.

Jadi, 

BILANGAN menyatakan banyaknya anggota himpunan, sedangkan

ANGKA adalah representasi dari bilangan.

BILANGAN itu abtrak, sedangkan

ANGKA itu nyata.

BILANGAN dapat dioperasikan, sedangkan
ANGKA hanyalah simbol yang tak dapat dioperasikan.

yuk nyanyi lagi,
agar lebih jelas bedanya.

* satu ditambah satu sama dengan dua
   dua ditambah dua sama dengan empat
   empat ditambah empat sama dengan delapan
   delapan ditambah delapan sama dengan enam belas


** angka satu seperti lidi
     angka dua seperti bebek
     angka tiga seperti burung
     angka empat kursi terbalik
     angka lima seperti pancing
     angka enam ular melingkar
     angka tujuh tongkat si kakek
     delapan telur bertumpuk
     sembilan balon terbang
     sepuluh lidi dan telur


lagu * tentang bilangan, sedangkan
lagu ** tentang angka tentunya.

salam matematika!

Read More

Cara Mudah Mengalikan Bilangan 11

Ada banyak cara melakukan operasi perkalian, pembagian, perpangkatan, ataupun penarikan akar. Melakukannya langsung, dengan bantuan kalulator, atau menggunakan trik cepat yang kesemuanya mendapatkan hasil yang valid.

Nah, berikut ini adalah cara mengalikan bilangan dengan bilangan 11 dengan mudah tanpa menggunakan kalkulator dan bahkan memerlukan waktu lebih cepat dari kalkulator.

cara sangat simple, yaitu.
TAMBAHKAN DUA DIGIT dan LETAKKAN HASILNYA DIANTARA DUA DIGIT TERSEBUT.

misal:
45 x 9
tambahkan 4 dan 5, lalu letakkan diantaranya, sehingga menghasilkan 495

sangat mudah.

apabila hasil penjumlahannya lebih besar dari 9, maka yang diletakkan diantaranya adalah SATUANnya saja, lalu puluhannya ditambahkan pada ratusannya.
misal:
78 x 9
karena 7 + 8 = 15, maka letakkan 5 diantara 7 dan 8, lalu tambahkan 1 (puluhannya) pada 7 (ratusannya),
[7 + 1] [5] [8] = 858


mari kita coba untuk bilangan lain,
soal 1
12.345 x 11 = ...

penyelesaian:
1[1 + 2][2 + 3][3 + 4][4 + 5]5 = 135.795

soal 2
456.789 x 11  =

penyelesaian:
4[4 + 5][5 + 6][6 + 7][7 + 8][8 + 9]9

4[4 + 5][5 + 6][6 + 7][7 + 8][17]9

4[4 + 5][5 + 6][6 + 7][7 + 8 + 1][7]9

4[4 + 5][5 + 6][6 + 7][16][7]9

4[4 + 5][5 + 6][6 + 7 + 1][6][7]9

4[4 + 5][5 + 6][14][6][7]9

4[4 + 5][5 + 6 + 1][4][6][7]9

4[4 + 5][12][4][6][7]9

4[4 + 5 + 1][2][4][6][7]9

4[10][2][4][6][7]9

[4+1][0][2][4][6][7]9

[5][0][2][4][6][7]9

 5.024.679


 selamat mencoba.

source: math wonders by Alfred S. Posamentier


salam matematika!

Read More

Logaritma

Pembelajaran matematika di sekolah telah mengalami perkembangan. Telah banyak model pembelajaran diaplikasikan para educator dalam penyajian matematika.

Namun, pembelajaran di sekolah masih meninggalkan pertanyaan, "Mengapa kita harus belajar ini, belajar itu?" atau pertanyaan lain yang sejenis.
Andai kita ambil satu contoh,
"Untuk apa kita belajar Logaritma?"

Entitas matematika yang abstrak seyogyanya disampaikan mulai dari sesuatu yang sangat konkret dan kontekstual. Hal ini akan menumbuhkan motivasi intrinsik pebelajar untuk menguasai matematika.

Logaritma diajarkan pada tingkat sekolah menengah pertama. Namun, sebagian besar peserta belajar belum memahami untuk apa mereka harus menguasai materi itu. Sungguh, hal itu merupakan implikasi dari penyajian yang tak dapat menumbukan motivasi intrinsik tadi.

Membahas logaritma,
Umumnya pembahasan itu dimulai dari bentuk pangakat seperti berikut,
2^x = 8
berapakah nilai x yang memenuhi persamaan tersebut?
Maka, alternatif solusinya menggunakan logaritma.

Salah satu aplikasinya dalam kehidupan adalah pada ekonomi perbankan. Misal, diketahui besarnya suatu modal dibungakan dan bunganya dalam priode tertentu. Dalam suatu jangka waktu, modal tersebut bertambah menjadi sekian. Dalam kasus tersebut, lamanya jangka waktu modal dibungakan dapat dihitung dengan logaritma.


salam matematika,

Read More

Orkestra Matematika

Matematika tidak sekedar angka.
Matematika adalah sebuah bahasa universal.

Sesungguhnya, matematika mengenai berfikir sistematis, menemukan pola dari setiap kejadian dalam sebuah kehidupan.
Setiap konsep dalam kehidupan manusia berawal dari berfikir matematis, disadari maupun tidak.
Disiplin, jujur, kritis, analitis dan kreatif merupakan beberapa karakter sebagai product berfikir matematis.

menghitung bunga bank, menghitung luas tanah, membuat kalkulator, menciptakan robot adalah bagian dari even matematika.

di lain sisi,
mengapa kita harus berhenti saat lampu merah, memainkan alat musik, menorehkan kuas di atas kanvas adalah pun adalah tentang matematika.

maka sesungguhnya matematika adalah orkestrasi dari setiap konsep yang ada dalam kehidupan manusia.

salam matematika,

Read More